Temps de premier retour - Math'φsics

Temps de premier retour

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent

Temps de premier retour \(H_x\)
Nombre de fois qu'une Chaîne de Markov repasse par \(x\) (ne prends pas en compte le point de départ). $$H_x:=\inf\{n\geqslant1\mid X_n=x\}\leqslant+\infty$$
- lien avec le Nombre de visites : \({\Bbb P}_x(H_x\lt \infty)=1\implies{\Bbb P}_x(N_x=\infty)=1\)
Démontrer les deux derniers résultats :

On a une relation avec \(N_x\) et \(\theta_{H_x}\).

On peut utiliser cette relation pour calculer \({\Bbb P}_x(N_x\geqslant k+1)\).

On utilise la Propriété de Markov faible pour simplifier le calcul.

On en déduit une relation de récurrence.

Disjonction des cas en fonction de la valeur de \({\Bbb P}_x(H_x\lt \infty)\).

L'espérance se calcule via la formule \(\sum_k{\Bbb P}(X\geqslant k)\), qui est une série géométrique.
Rétroliens :